歌剧《狄朵与埃涅阿斯》宣传图
狄朵与埃涅阿斯的相遇其实并不浪漫，她一生命途坎坷，在此之前因丈夫被暗杀而被迫逃离故土，她一路逃亡来到北非海岸，并设法在此定居，为购买土地与当地人经历了一番讨价还价，最终得到的承诺是她只能占有一块牛皮包住的土地，于是聪慧的狄朵将牛皮切成尽可能多的细条，将细条相连成线从而围住了大片土地。在这里我们看到了等周问题的影子——在给定的周长内围住尽可能多的土地面积，遗憾的是这位潜在的女数学家选择将生命献给爱情，最终这个数学问题还是由古希腊数学家给大致解决了。
何为等周定理？即平面上定长的简单闭曲线中圆周所围的面积最大，其对偶定理与之等价，即平面上面积相等的几何图形中圆的周长最小。设d是长度为l的平面简单闭曲线，由若尔当曲线定理（即在欧式平面上，任意一条简单闭曲线d可把平面分成两个部分，使得同一部分的任意两点可用不与d相交的弧相连），曲线d可围成面积为a的有限区域，用不等式表示为
，当且仅当d为圆周时等号成立。
jakob steiner，1769-1863
其中，s(·) 表示面积，
表示两段曲线所围的重叠区域，因此平均边界所围面积为原面积的一半。但曲线d1、d2并不能对称重合，所以平均边界的长度小于周长的一半，按照等周定理的对偶定理，显然矛盾。因此原图形平分后的两段曲线必须在对称后重合，从而曲线所围成面积最大的图形是圆。
斯坦纳等一众数学家的努力让大众相信，脱离了代数与分析的数学仍旧是强大的武器，但我们同时又会如此真切地感受到几何与方程碰撞产生的奇妙结果。因为下文会用到面积公式，不妨先用几何的方法来推导一下。
三角形的面积谁都会算，但换一种思路，运用几何直观便可得到另一种表达方式。首先引入三角形的外接矩形，之后按照填补色块的思路简单推导就得到的另一种形式的面积公式。若将三角形顶点置于平面坐标系的第一象限中，逆时针方向赋予顶点坐标，则三角形面积为 a=(x1y2-x2y1)/2。
对多边形可以进行类似的推广，若将n边形置于第一象限，以逆时针方向看各顶点坐标为 (0, 0)，(x1, y1), ..., (xn-1, yn-1)，则该 n 边形的面积为
将其转化为积分的形式就是：
每每提到计算平面图形的面积，总会条件反射似的想到格林公式（green formula，即
），而几何的方式又给我们提供了另一种理解方式。值得一提的是，斯坦纳的证明皆是基于解的存在性假设，这一点使他的证明并不严谨，甚至有同行用歌剧中狄朵的最后一句话来调侃他：“铭记我，但啊，忘了我的命运吧。”（remember me, but ah! forget my fate.）如此看来，几何方法还需要与其他数学知识相结合才能更好地发挥其效用，因此在十九世纪与其他数学学派的竞争中，以斯坦纳为首的坚持纯几何方法的学派明显处于了劣势。
的极值。
在解决等周问题时，我们就需要找到曲线t→(x(t), y(t))，在给定周长
的条件下，使面积
最大化，运用拉格朗日乘子法（lagrange multiplier method）构造函数：
并求出
的极值。
变分法的关键是欧拉方程（euler equation），即通过使一阶导为零求得极值点，分别化简 x 与 x’ 的欧拉方程求得最终解，这显然是圆参数方程的一种形式。
，
，这样就可以计算它们各自的面积。其中，s为曲线α的弧长参数，a为曲线α围成的面积。
将原曲线投影到圆周上
将两者面积相加，运用柯西不等式进行放缩，在计算过程中需要注意一个隐含条件，因为对原曲线作了弧长参数化处理，则有弧长参数x'2 y'2=1，计算时可进行化简，最终求得等周不等式，当等号成立时 a= πr2，l=2πr，因此原曲线围成的就是一个圆。
说了这么多，等周定理到底有什么用呢？利用最短的线围出最大的面积是其在日常生活中最为常见的应用。等周定理不像莫比乌斯环、哥尼斯堡七桥问题、四色问题等这么为人熟知，但它在推动学术研究上具有重要价值，例如该定理可用来进行特征值估计，解决流体机械中的流化作用相关的问题等。感兴趣的小伙伴可以进行更深入的研究。
回顾等周定理的各种证明，数学家和文学家的思维一样敏锐而自由，同样的事物在他们眼中会变成不同的风景，不同的方法让我们可以从不同的角度去理解同一个事实，这往往引导出数学上不同的发展。
王国维在《人间词话》中将词分为有我之境与无我之境，借用丘成桐先生的观点，数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境。等周问题生发于现实中的买地问题，由生活引导，可谓无我之境；但随后数学家们不懈的证明推动理论的发展，可谓有我之境矣。
